数值分析大作业-PageRank

题目

互联网的使用已经深入人们的日常生活中，其巨大的信息量和强大的功能给人们的生产、生活带来了很大使利。随着网络信息量越来越庞大，如何有效地搜索出用户真正需要的信息变得十分重要。互联网巨头Google公司的核心技术就是通过PageRank 技术对海量的网页进行重要性分析。该技术利用网页相互链接的关系对网页进行组织，确定出每个网页的重要级别(PageRank)。当用户进行搜索时，Google找出符合搜索要求的网页，并按它们的PageRank 大小依次列出。这样，用户一般在显示结果的第一页或者前几页就能找到真正有用的结果。形象地解释，PageRank 技术的基本原理是：如果网页A 链接到网页B ，则认为“网页A投了网页B”一票，而且如果网页A 是级别高的网页，则网页B 的级别也相应地高。

假设 $n$是 Internet 中所有可访问网页的数目，此数值非常大，2010 年已接近 100亿。定义$n\times n$ 的网页链接矩阵 $G=(g_{ij})\in\mathbb{R}^n\times n$，若网页 $j$ 有一个链接到网页 $i$，则 $g_{ij}=1$，否则 $g_{ij}=0$。$G$ 矩阵有如下特点。

1. $G$ 矩阵是大规模稀疏矩阵

2. 第 $j$ 列非零元素的位置表示了从网页 $j$ 链接出去的所有网页。

3. 第$i$行非零元素的位置表示了所有链接到网页$i$ 的网页。

4. $G$ 矩阵中非零元的数目为整个Internet 中存在的超链接的数量

5. 记 $G$ 矩阵行元素之和 $r_i=\sum_ig_{ij}$，它表示第 $i$ 个网页的“入度”。

6. 记 $G$ 矩阵列元素之和 $c_j=\sum_ig_{ij}$，它表示第 $j$ 个网页的“出度”。

要计算 PageRank，可假设一个随机上网“冲浪”的过程，即每次看完当前网页后，有两种选择。

• 在当前网页中随机选一个超链接进入下一个网页。
• 随机新开一个网页。

这在数学上称为马尔可夫过程(Markov process)。若这样的随机“冲浪”一直进行下去，某个网页被访问到的极限概率就是它的 PageRank。

设 $p$ 为选择当前网页上链接的概率（如 $p=0.85$），则 $1-p$ 为不选当前网页的链接而随机打开一个网页的概率。若当前网页是网页 $j$，则如何计算下一步浏览到达网页 $i$ 的概率(网页 $j$ 到 $i$ 的转移概率)? 它有两种可能性。

• 若网页 $i$ 在网页 $j$ 的链接上，则其概率为 $p\times1/c_j+(1-p)\times1/n$
• 若网页 $i$ 不在网页 $j$ 的链接上，则其概率为 $(1-p)\times1/n.$

由于网页 $i$ 是否在网页 $j$ 的链接上由 $g_{ij}$ 决定，因此网页 $j$ 到 $i$ 的转移概率为

$$a_{ij}=g_{ij}\left[p\times\frac1{c_j}+(1-p)\times\frac1n\right]+(1-g_{ij})\left[(1-p)\times\frac1n\right]=\frac{pg_{ij}}{c_j}+\frac{1-p}n$$

应注意的是，若 $c_j=0$ 意味着 $g_{ij}=0$，上式改为 $a_{ij}=1/n$ 。任意两个网页之间的转移概率形成一个转移矩阵 $A=(a_{ij})_{n\times n}$。设矩阵 $D$ 为各个网页出度的倒数(若没有出度，设为 1)构成的 $n$ 阶对角矩阵，$e$ 为全是1的 $n$ 维向量，则

$$A=pGD+ef^\mathrm{T}$$

其中向量 $f$ 的元素为

$$f_j=\begin{cases}(1-p)/n,&c_j\neq0\\[2ex]1/n,&c_j=0\end{cases},\quad j=1,2,\cdots,n$$

设 $x_i^{(k)},i=1,2,\cdots,n$ 表示某时刻 $k$ 浏览网页 $i$ 的概率 $(\sum_ix_i^(k)=1)$ ，向量 $\mathbf{x}^{(k)}$ 表示当前时刻浏览各网页的概率分布，那么下一时刻浏览到网页 $i$ 的概率为 $\sum_{j=1}^n=a_{ij}x_j^{(k)}$，此时浏览各网页的概率分布为 $x^{(k+1)}=\mathrm{Ax}^{(k)}$。

当这个过程无限进行下去，达到极限情况，即网页访问概率 $\mathbf{x}^{(k)}$ 收敛到一个极限值，这个极限向量 $x$ 为各网页的 PageRank，它满足$\mathbf{Ax}=\mathbf{x}$，且 $\sum_i=1^nx_i=1$。

使用幂法计算 PageRank。给定 $n\times n$ 的网页链接矩阵 $G$，以及选择当前网页链接的概率 $p$ ，计算特征值 1 对应的特征向量 $x$

$$\begin{cases}\mathrm{Ax}=\mathrm{x}\\\\\sum_{i=1}^nx_i=1\end{cases}$$

易知$\parallel A\parallel_1=1$，所以 $\rho(A)\leqslant1$。又考虑矩阵 $\mathcal{L}=I-A$，容易验证它的各列元素和均为 0，则为奇异矩阵，所以 $\det(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A})=0$，$1$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值、主特征值。更进一步，用圆盘定理考查矩阵 $A^\mathrm{T}$ 的特征值分布，图3显示了第 $j$ 个圆盘 $D_j,(j=1,2,\cdots,n)$ ，显然其圆心 $a_{jj}>0$，半径 $r_j$ 满足 $a_{jj}+r_j=1$，因此除了 1 这一点，圆盘上任何一点到圆心的距离(即复数的模)都小于1。这就说明，1是矩阵 $A^\mathrm{T}$ 和 $A$ 的唯一主特征值。对于实际的大规模稀疏矩阵 $A$ ，幂法是求其主特征向量的可靠的、唯一的选择。

网页的 PageRank 完全由所有网页的超链接结构决定，隔一段时间重新算一次PageRank，以反映 Internet 的发展变化，此时将上一次计算的结果作为幂法的送代初值可提高收敛速度。由于迭代向量以及矩阵 $A$ 的物理意义，使用幂法时并不需要对向量进行规格化，而且不需要形成矩阵 $A$ ，通过遍历整个网页的数据库， 根据网页间的超链接关系即可得到 $Ax^{(k)}$ 的结果。

以一个只有6个网页的微型网络作为例子，其网页链接关系如图4所示，利用幂法计算该网络的PageRank。

分析

数学建模

• 定义 网页链接矩阵 $G=(g_{ij})*{n \times n}$，其中 $g*{ij}=1$ 表示网页 $j$ 链接到网页 $i$，否则 $g_{ij}=0$。

• 转移概率矩阵

  $A=(a_{ij})_{n \times n}$：

  • 若网页 $j$ 有出链（$c_j > 0$），$a_{ij} = \frac{pg_{ij}}{c_j} + \frac{1-p}{n}$。
  • 若网页 $j$ 无出链（$c_j = 0$），$a_{ij} = \frac{1}{n}$。

• 使用 马尔可夫过程 模拟用户的浏览行为：

  • 随机点击超链接。
  • 随机打开新网页。

问题目标：

• 求解极限概率分布向量 $\mathbf{x}$，即网页的 PageRank 值，满足：

$$\mathbf{Ax} = \mathbf{x}, \quad \sum_{i=1}^n x_i = 1$$

• 该向量反映了长期浏览过程中网页被访问的概率。

所用算法分析

为什么采用幂法？

幂法是一种高效、可靠的算法，特别适用于 PageRank 的需求：

1. 矩阵 $A$ 的性质：
   • $A$ 是列随机矩阵（每列元素和为 1）。
   • 具有主特征值 $\lambda=1$，且 $\rho(A) = 1$。
2. 大规模稀疏矩阵的特点：
   • $G$ 是一个非常稀疏的矩阵（大多数元素为 0）。
   • 幂法不需要显式存储 $A$，只需基于超链接关系逐列计算 $Ax$，节省内存和计算资源。
3. 唯一性与收敛性：
   • $A$ 的主特征值 1 唯一，幂法能稳定收敛到其对应的特征向量。
   • 对于初始值的选取，算法具有鲁棒性，且可以利用之前的计算结果加速收敛。
4. 物理意义：
   • 矩阵 $A$ 的元素直接反映网页跳转概率。
   • 幂法的迭代形式对应于模拟用户浏览过程的多次重复。

幂法的优势：

• 高效处理大规模数据。
• 利用稀疏性减少计算量。
• 可随时间更新 PageRank，以反映互联网结构的动态变化。

思路

要计算这个微型网络的 PageRank，我们需要构建转移矩阵 $ A $，并使用幂法迭代以求得特征值 1 对应的特征向量。下面是具体步骤：

构建链接矩阵 $G$

根据图中的链接关系，构建 $ G $：

$$G = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

出度向量 $c$ 和对角矩阵 $D$

计算每个网页的出度 $c_j$ 并构造对角矩阵 $D$：

• $c = [2, 1, 3, 1, 1, 2]$
• $D = \text{diag}(1/2, 1, 1/3, 1, 1, 1/2)$

构造转移矩阵 $A$

转移矩阵 $$ A $$的公式为：

$$A = pGD + e f^\mathrm{T},$$

其中：

• $p = 0.85$（选择当前网页上链接的概率），
• $e$是全 1 的列向量，
• $f_j = \frac{1-p}{n}$ 当 $c_j \neq 0$，或 $f_j = \frac{1}{n}$ 当 $c_j = 0$。

对于 $n = 6$，$1-p = 0.15$，

$$f_j = \begin{cases} \frac{0.15}{6}, & \text{若 } c_j \neq 0,\\ \frac{1}{6}, & \text{若 } c_j = 0. \end{cases}$$

计算得到：

$$f = \begin{bmatrix} \frac{0.15}{6} & \frac{0.15}{6} & \frac{0.15}{6} & \frac{0.15}{6} & \frac{0.15}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}^\mathrm{T}.$$

然后计算 $A$：

$$A = 0.85 G D + e f^\mathrm{T}.$$

用幂法计算 PageRank

初始概率分布 $x^{(0)}$为均匀分布：

$$x^{(0)} = \begin{bmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}^\mathrm{T}.$$

通过迭代公式：

$$x^{(k+1)} = Ax^{(k)},$$

不断更新 $x$，直到 $x^{(k+1)}$与 $x^{(k)}$的差异收敛到一个非常小的值。

算法设计及其详细描述

输入

• 网页链接矩阵 $G$。
• 阻尼因子 $p$（通常 $p=0.85$）。
• 停止阈值 $\epsilon$（判断收敛的误差）。

输出

各网页的 PageRank 值向量 $\mathbf{x}$。

步骤

1. 初始化：
   • 构造初始概率分布向量 $\mathbf{x}^{(0)}$，通常设为均匀分布：$x_i^{(0)} = \frac{1}{n}$。
2. 构造转移矩阵：
   • 根据 $G$ 和网页出度构造稀疏矩阵 $A$：
     • 若 $c_j > 0$，$a_{ij} = \frac{pg_{ij}}{c_j} + \frac{1-p}{n}$。
     • 若 $c_j = 0$，$a_{ij} = \frac{1}{n}$。
3. 迭代更新：
   • 使用公式 $\mathbf{x}^{(k+1)} = \mathbf{A} \mathbf{x}^{(k)}$ 进行迭代。
   • 可以直接用超链接关系计算 $\mathbf{Ax}^{(k)}$，而不显式存储矩阵 $A$。
4. 收敛判断：
   • 若满足 $|\mathbf{x}^{(k+1)} - \mathbf{x}^{(k)}|_1 < \epsilon$，则停止迭代。
5. 归一化：
   • 确保最终向量 $\mathbf{x}$ 的元素和为 1。
6. 输出结果：
   • $\mathbf{x}$ 为各网页的 PageRank 值。

实现

import numpy as np


def pagerank(G, p=0.85, tol=1.0e-6, max_iter=1000):
    n = G.shape[0]
    # 计算每个节点的出度
    c = np.sum(G, axis=0)
    # 创建对角矩阵 D
    D = np.diag(1 / np.where(c != 0, c, 1))

    # 创建向量 f
    f = np.where(c != 0, (1 - p) / n, 1 / n)

    # 构造转移矩阵 A
    A = p * G @ D + np.outer(np.ones(n), f)

    # 初始化 PageRank 向量
    x = np.ones(n) / n

    # 幂法迭代
    for _ in range(max_iter):
        x_new = A @ x
        if np.linalg.norm(x_new - x, 1) < tol:
            break
        x = x_new

    return x


# 图像中的示例网络
G = np.array([
    [0, 0, 0, 1, 0, 1],  # alpha
    [1, 0, 0, 0, 0, 0],  # beta
    [0, 1, 0, 0, 0, 0],  # gamma
    [0, 1, 1, 0, 0, 0],  # delta
    [0, 0, 1, 0, 0, 0],  # rho
    [0, 0, 1, 0, 1, 0],  # sigma
], dtype=np.float64)

pagerank_values = pagerank(G)
print("PageRank 值:", pagerank_values)

PageRank 值: [0.26752787 0.25239904 0.13226969 0.16974598 0.06247629 0.11558113]

参考代码来源：

• 《Introduction to Algorithms》（算法导论）中的 Markov Chain 相关章节。
• Python 机器学习库 networkx 的 PageRank 实现。

可能的改进方向

1. 稀疏矩阵优化：
   • 使用 scipy.sparse 或其他稀疏矩阵工具对 $G$ 和 $A$ 进行稀疏存储和计算。
   • 利用稀疏矩阵的特性（非零元素远小于总数），通过稀疏矩阵乘法显著减少计算时间和内存需求。
2. 引入非均匀随机跳转：
   • 改进随机跳转向量 $f$ 的构造，结合网页的先验信息（如流量统计、内容质量）设置非均匀分布。
3. 优化幂法：
   • 使用加速收敛方法，如：
     • 加速幂法（Accelerated Power Method）：通过动态调整步长加速收敛。
     • Arnoldi 方法或Lanczos 方法：适用于求解大规模稀疏矩阵的特征向量。
   • 对幂法的初始值选择，使用历史 PageRank 结果作为初值以减少迭代次数。
4. 并行化与分布式计算：
   • 对大规模数据集，使用并行处理（如 GPU、CUDA）或分布式框架（如 Apache Spark）。
   • 将矩阵分块，结合分布式存储与计算进行大规模矩阵运算。
5. 孤立节点处理：
   • 对孤立节点加入动态权重分配模型，而不是固定的均匀分布 $1/n$。
   • 结合网络图的聚类算法，为孤立节点分配更合理的跳转概率。
6. 高效存储与更新机制：
   • 对于动态变化的互联网结构，使用增量计算方法，仅更新发生变化的部分网页链接。
   • 引入 动态 PageRank 算法，减少全局重新计算的频率。
7. 结合用户行为数据：
   • 将实际用户点击流数据引入模型（如用户访问的统计概率）。
   • 改进 Markov 转移矩阵 $A$，提高实际应用中的搜索排序效果。